Y=(x-5)^2*e^x-7. Найдите точку максимума. С решением.

Чтобы найти точку максимума функции $Y = (x - 5)^2 e^x - 7$, нужно выполнить следующие шаги.

1. Найдем первую производную функции $Y(x)$:

   Сначала будем дифференцировать выражение $Y = (x - 5)^2 e^x - 7$. Для этого применим правило произведения.

   Пусть:

   $$u(x) = (x - 5)^2, \quad v(x) = e^x.$$

   Тогда производная $Y'(x)$ будет вычисляться по формуле:

   $$Y'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x).$$

   Теперь найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

   $$u'(x) = 2(x - 5),$$ $$v'(x) = e^x.$$

   Подставляем это в формулу для производной:

   $$Y'(x) = 2(x - 5) e^x + (x - 5)^2 e^x.$$

   Теперь вынесем $e^x$ за скобки:

   $$Y'(x) = e^x \left( 2(x - 5) + (x - 5)^2 \right).$$

2. Найдем критические точки (где $Y'(x) = 0$):

   Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

   $$e^x \left( 2(x - 5) + (x - 5)^2 \right) = 0.$$

   Поскольку $e^x$ никогда не равно нулю, приравниваем к нулю только выражение в скобках:

   $$2(x - 5) + (x - 5)^2 = 0.$$

   Это квадратное уравнение. Раскроем его:

   $$(x - 5)^2 + 2(x - 5) = 0.$$

   Вынесем $(x - 5)$ за скобки:

   $$(x - 5) \left( (x - 5) + 2 \right) = 0,$$ $$(x - 5)(x - 3) = 0.$$

   Получаем два решения:

   $$x = 5 \quad \text{или} \quad x = 3.$$

3. Определим, какая из этих точек является точкой максимума или минимума:

   Для этого найдем вторую производную функции $Y(x)$.

   Вторую производную можно найти, продифференцировав первую:

   $$Y''(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x \left( 2(x - 5) + (x - 5)^2 \right) \right).$$

   Это выражение можно дифференцировать с использованием правила произведения. Однако проще будет проверить знак первой производной в окрестности найденных точек, чтобы понять, где функция имеет максимум, а где минимум.

   Подставим $x = 5$ и $x = 3$ в выражение для $Y'(x)$:

   • Для $x = 5$:

     $$Y'(5) = e^5 \left( 2(5 - 5) + (5 - 5)^2 \right) = 0.$$

     Это критическая точка.

   • Для $x = 3$:

     $$Y'(3) = e^3 \left( 2(3 - 5) + (3 - 5)^2 \right) = e^3 \left( -4 + 4 \right) = 0.$$

     Это тоже критическая точка.

   Теперь нужно понять, какая из этих точек является максимумом. Для этого можем рассмотреть знаки производной рядом с точками $x = 5$ и $x = 3$