При изготовлении труб диаметром 30 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного более чем на 0,02 мм, равна 0,074. Найдите вероятность того, что диаметр случайно выбранной для контроля трубы будет в пределах от 29,98 мм до 30,02 мм.

Задача предполагает использование вероятностного распределения для нахождения вероятности того, что диаметр случайной трубы будет находиться в заданном диапазоне.

Предположим, что распределение диаметров труб является нормальным. Пусть диаметр трубы $X$ подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием $\mu = 30$ мм и стандартным отклонением $\sigma$.

Мы знаем, что вероятность того, что диаметр будет отклоняться от заданного значения на более чем 0,02 мм, равна 0,074. Это означает, что вероятность отклонения на более чем 0,02 мм с обеих сторон (меньше 29,98 мм или больше 30,02 мм) равна 0,074.

Пусть $P(|X - 30| > 0,02) = 0,074$. Это означает, что $P(X < 29,98 \, \text{мм}) + P(X > 30,02 \, \text{мм}) = 0,074$.

В нормальном распределении это может быть выражено через стандартные нормальные отклонения, то есть через значение Z-оценки. Для отклонения на более чем 0,02 мм получаем:

Оба этих значения вероятности имеют одинаковую величину, так как распределение нормальное и симметричное. Таким образом, можем записать:

Отсюда находим вероятность:

Затем, используя таблицу стандартного нормального распределения или вычисления Z-оценки для данной вероятности, находим, что $Z \approx 1,75$. Это значит, что:

Отсюда находим стандартное отклонение:

Теперь, чтобы найти вероятность того, что диаметр трубы будет в пределах от 29,98 мм до 30,02 мм, нам нужно вычислить:

Это вероятность того, что значение Z будет находиться в пределах от $\frac{29,98 - 30}{\sigma}$ до $\frac{30,02 - 30}{\sigma}$. Для этих значений:

Теперь, используя таблицу стандартного нормального распределения, находим вероятность того, что Z лежит в пределах от -1,75 до 1,75. Это будет:

Согласно таблице стандартного нормального распределения:

Таким образом:

Ответ: вероятность того, что диаметр случайно выбранной трубы будет в пределах от 29,98 мм до 30,02 мм, составляет примерно 0,9198, или 91,98%.