Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр — 28 см. Найдите площадь прямоугольника.

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, нужно сначала найти его длину и ширину.

1. Пусть длина прямоугольника — $a$, а ширина — $b$.

2. Известно, что периметр прямоугольника $P = 2a + 2b = 28$, то есть

   $$a + b = 14.$$

3. Также известно, что диагональ прямоугольника $d = 10$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного длиной, шириной и диагональю, имеем

   $$a^2 + b^2 = 10^2 = 100.$$

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $a + b = 14$,

2. $a^2 + b^2 = 100$.

Решим эту систему.

Из первого уравнения $a + b = 14$ выразим $b$ через $a$:

Подставим это выражение в второе уравнение:

Раскроем скобки:

Разделим на 2:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Таким образом, $a = 8$ или $a = 6$.

Если $a = 8$, то $b = 14 - 8 = 6$, и наоборот, если $a = 6$, то $b = 14 - 6 = 8$.

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника, умножим длину на ширину:

Ответ: площадь прямоугольника равна 48 см².