Периметр прямоугольника равен 17 см, а его площадь равна 15 см​2. Найдите диагональ этого прямоугольника

Для того чтобы найти диагональ прямоугольника, нужно использовать несколько формул, связанных с его периметром и площадью. Рассмотрим шаги подробно.

1. Обозначим неизвестные величины

Пусть стороны прямоугольника — это $a$ и $b$.

• Периметр прямоугольника: $P = 17 \, \text{см}$
• Площадь прямоугольника: $S = 15 \, \text{см}^2$

Периметр прямоугольника можно выразить как сумму всех его сторон:

Так как периметр равен 17 см, то:

или, деля обе части на 2:

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон:

Площадь равна 15 см², то есть:

2. Решим систему уравнений

У нас есть система двух уравнений:

1. $a + b = 8.5$
2. $a \cdot b = 15$

Это система, которую можно решить методом подбора или через использование формулы для корней квадратного уравнения. Рассмотрим решение через квадратное уравнение.

Перепишем первое уравнение, выразив одну переменную через другую:

Подставим это значение во второе уравнение:

Раскроем скобки:

или:

Приведем это уравнение к стандартному виду:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ для уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ вычисляется по формуле:

Здесь $A = 1$, $B = -8.5$, $C = 15$. Подставим значения:

Теперь находим корни уравнения:

Получаем два корня:

3. Найдем стороны прямоугольника

Если $a = 6$, то из уравнения $a + b = 8.5$ получаем:

Если $a = 2.5$, то $b = 8.5 - 2.5 = 6$.

Таким образом, стороны прямоугольника — 6 см и 2.5 см.

4. Найдем диагональ

Теперь можем найти диагональ прямоугольника, используя теорему Пифагора. Диагональ $d$ прямоугольника связана с его сторонами формулой:

Подставим значения $a = 6$ и $b = 2.5$:

Ответ:

Диагональ прямоугольника равна 6.5 см.