Решить неравенство (log2x)^2-2log2x-3<=0

Для решения неравенства $(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x - 3 \geq 0$ нужно выполнить несколько шагов.

1. Преобразование переменной:
   Введем замену переменной. Пусть $y = \log_2 x$. Тогда неравенство принимает вид:

   $$y^2 - 2y - 3 \geq 0$$

2. Решение квадратного неравенства:
   Решим квадратное неравенство $y^2 - 2y - 3 \geq 0$. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

   $$y^2 - 2y - 3 = 0$$

   Используем формулу для решения квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$$ $$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$

   Таким образом, корни уравнения: $y = \frac{2 + 4}{2} = 3$ и $y = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

3. Анализ знаков:
   Теперь, когда у нас есть корни, можем разобрать знак выражения $y^2 - 2y - 3$ на интервалах, определяемых этими корнями: $y \in (-\infty, -1)$, $y \in (-1, 3)$ и $y \in (3, \infty)$.

   Рассмотрим знак на каждом интервале:

   • На интервале $(- \infty, -1)$: Если подставить, например, $y = -2$, то выражение $y^2 - 2y - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$, то есть положительное.

   • На интервале $(-1, 3)$: Если подставить, например, $y = 0$, то выражение $y^2 - 2y - 3 = 0 - 0 - 3 = -3$, то есть отрицательное.

   • На интервале $(3, \infty)$: Если подставить, например, $y = 4$, то выражение $y^2 - 2y - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$, то есть положительное.

   Таким образом, неравенство $y^2 - 2y - 3 \geq 0$ выполняется для $y \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

4. Возвращение к исходной переменной:
   Помним, что $y = \log_2 x$. Теперь преобразуем неравенство в термины $x$:

   • $y \leq -1$ означает $\log_2 x \leq -1$, что эквивалентно $x \leq \frac{1}{2}$.

   • $y \geq 3$ означает $\log_2 x \geq 3$, что эквивалентно $x \geq 8$.

5. Учет области допустимых значений:
   Поскольку $\log_2 x$ определено только для $x > 0$, это накладывает дополнительное ограничение на $x$.

Таким образом, решение неравенства: