Вычислить без таблиц и калькулятора: tg600° и cos(17π/3)

Для того чтобы вычислить $\tan(600^\circ)$ и $\cos\left(\frac{17\pi}{3}\right)$, давайте начнем с того, что нам нужно привести углы к основному промежутку, то есть к углам от $0^\circ$ до $360^\circ$ для $\tan$ и от $0$ до $2\pi$ для $\cos$.

1. $\tan(600^\circ)$

Для того чтобы упростить этот угол, нужно вычесть $360^\circ$, потому что тангенс имеет период $180^\circ$, а угол $600^\circ$ выходит за пределы одного круга:

Теперь, мы вычисляем $\tan(240^\circ)$. Угол $240^\circ$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Точное значение тангенса для угла $240^\circ$ можно найти, если вспомнить, что $240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$, а $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$. Следовательно:

Таким образом:

2. $\cos\left(\frac{17\pi}{3}\right)$

Теперь переходим ко второму выражению. Угол $\frac{17\pi}{3}$ измеряется в радианах. Чтобы привести его к основному промежутку от $0$ до $2\pi$, нужно вычесть $2\pi$ несколько раз.

Первоначально, преобразуем $\frac{17\pi}{3}$ к более удобному виду. Поскольку $2\pi = \frac{6\pi}{3}$, будем вычитать $2\pi$ (или $\frac{6\pi}{3}$):

Теперь снова вычитаем $2\pi$:

Таким образом, угол $\frac{17\pi}{3}$ эквивалентен углу $\frac{5\pi}{3}$ на интервале $0$ до $2\pi$.

Теперь нужно вычислить $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)$. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Мы можем заметить, что $\frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$, а $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Поскольку угол находится в четвертой четверти, где косинус положителен, то: