Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1 – х³, у = 0, х = -1.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми $y = 1 - x^3$, $y = 0$, и $x = -1$, нужно решить задачу нахождения площади между графиком функции и осью абсцисс на определённом интервале.

1. Построим график функции: функция $y = 1 - x^3$ имеет вид кубической кривой. Мы будем искать площадь, ограниченную этой кривой, осью $y = 0$ и вертикальной прямой $x = -1$. Для этого нужно понять, на каком интервале $x$ происходит пересечение графика с осью $x$.

2. Нахождение границ интегрирования: Площадь ограничена интервалом от $x = -1$ до точки, где функция $y = 1 - x^3$ пересекает ось $x$, т.е. где $y = 0$. Решаем уравнение:

   $$1 - x^3 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1.$$

   Таким образом, график пересекает ось $x$ в точке $x = 1$.

3. Интегрирование для нахождения площади: Площадь будет равна определенному интегралу функции $y = 1 - x^3$ на интервале от $x = -1$ до $x = 1$. Интеграл имеет вид:

   $$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^3) \, dx.$$

4. Вычислим интеграл:
   Разделим интеграл на два:

   $$S = \int_{-1}^{1} 1 \, dx - \int_{-1}^{1} x^3 \, dx.$$

   Первый интеграл:

   $$\int_{-1}^{1} 1 \, dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2.$$

   Второй интеграл:

   $$\int_{-1}^{1} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0.$$

5. Итоговая площадь: Таким образом, площадь равна:

   $$S = 2 - 0 = 2.$$

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - x^3$, $y = 0$ и $x = -1$, равна 2.