Найдите сумму всех натуральных чисел, больших 100 и меньших 200, кратных 6.

Для того чтобы найти сумму всех натуральных чисел, больших 100 и меньших 200, кратных 6, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем первое число, которое больше 100 и кратно 6.
   Разделим 100 на 6:
   $100 \div 6 = 16$ (остаток 4).
   Следовательно, ближайшее число, большее 100 и кратное 6, будет $6 \times 17 = 102$.

2. Найдем последнее число, которое меньше 200 и кратно 6.
   Разделим 200 на 6:
   $200 \div 6 = 33$ (остаток 2).
   Следовательно, последнее число, меньшее 200 и кратное 6, будет $6 \times 33 = 198$.

3. Теперь нужно найти сумму всех чисел от 102 до 198, которые кратны 6.
   Это арифметическая прогрессия, где:

   • Первое число $a_1 = 102$,

   • Последнее число $a_n = 198$,

   • Разность прогрессии $d = 6$.

   Количество членов прогрессии можно найти по формуле:
   $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 = \frac{198 - 102}{6} + 1 = \frac{96}{6} + 1 = 16 + 1 = 17$.

4. Сумма арифметической прогрессии рассчитывается по формуле:
   $S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)$,
   где $n$ — количество членов прогрессии, $a_1$ — первое число, $a_n$ — последнее число.

   Подставляем значения:

   $$S_{17} = \frac{17}{2} \times (102 + 198) = \frac{17}{2} \times 300 = 17 \times 150 = 2550$$

Ответ: сумма всех натуральных чисел, больших 100 и меньших 200, кратных 6, равна 2550.