Найти действительные корни уравнения \(2x^5 - x^4 + 2x - 1 = 0\).

Для поиска действительных корней уравнения $2x^5 - x^4 + 2x - 1 = 0$, воспользуемся методом подбора корней и анализа функции.

Шаг 1: Проверка простых значений

Начнем с подбора простых значений для $x$, чтобы увидеть, не является ли какое-либо из них корнем уравнения.

1. $x = 0$:
   Подставим $x = 0$ в уравнение:

   $$2(0)^5 - (0)^4 + 2(0) - 1 = -1.$$

   Это не равно 0, значит $x = 0$ не является корнем.

2. $x = 1$:
   Подставим $x = 1$ в уравнение:

   $$2(1)^5 - (1)^4 + 2(1) - 1 = 2 - 1 + 2 - 1 = 2.$$

   Это не равно 0, значит $x = 1$ тоже не является корнем.

3. $x = -1$:
   Подставим $x = -1$ в уравнение:

   $$2(-1)^5 - (-1)^4 + 2(-1) - 1 = -2 - 1 - 2 - 1 = -6.$$

   Это также не равно 0, значит $x = -1$ тоже не является корнем.

4. $x = \frac{1}{2}$:
   Подставим $x = \frac{1}{2}$ в уравнение:

   $$2\left(\frac{1}{2}\right)^5 - \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 2 \times \frac{1}{32} - \frac{1}{16} + 1 - 1 = \frac{1}{16} - \frac{1}{16} = 0.$$

   Это равняется 0, значит $x = \frac{1}{2}$ является корнем уравнения.

Шаг 2: Применение метода деления многочлена

Так как $x = \frac{1}{2}$ — корень, можно разделить исходный многочлен на $x - \frac{1}{2}$ с помощью деления многочлена. После этого нужно решить оставшееся уравнение для поиска других корней.

Шаг 3: Деление на $x - \frac{1}{2}$

При делении многочлена $2x^5 - x^4 + 2x - 1$ на $x - \frac{1}{2}$, мы получаем новый многочлен степени 4. Дальнейшее его разложение (например, через нахождение других корней с помощью методов, таких как методы Ньютона или графического анализа) может показать, есть ли другие действительные корни.

Ответ:

Одним из действительных корней уравнения является $x = \frac{1}{2}$. Для нахождения других корней следует продолжить анализ оставшегося многочлена после деления.