У квадратного трехчлена х^2+x+q коэффициент q выбран на удачу из отрезка (-1, 1). Какова вероятность того, что квадратный трехчлен имеет действительные корни?

Чтобы определить вероятность того, что квадратный трёхчлен $x^2 + x + q$ имеет действительные корни, рассмотрим условие для существования таких корней. Для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, корни будут действительными, если дискриминант $D$ удовлетворяет неравенству $D \geq 0$.

Дискриминант трёхчлена

Для трёхчлена $x^2 + x + q$, коэффициенты $a = 1$, $b = 1$, $c = q$. Его дискриминант равен:

Условие для действительных корней

Корни будут действительными, если $D \geq 0$, то есть:

Отсюда:

Таким образом, для существования действительных корней $q$ должен быть в пределах $q \in (-1, \frac{1}{4}]$.

Отрезок выбора коэффициента $q$

По условию задачи, коэффициент $q$ выбирается случайно из отрезка $(-1, 1)$. Длина всего отрезка равна:

Часть отрезка, где выполняется условие $q \in (-1, \frac{1}{4}]$, имеет длину:

Вероятность

Вероятность того, что $q$ попадает в интервал $(-1, \frac{1}{4}]$, равна отношению длины этого интервала к длине всего отрезка:

Ответ

Вероятность того, что квадратный трёхчлен $x^2 + x + q$ имеет действительные корни, равна $\frac{5}{8}$ или 62.5%.