Тригонометрическое уравнение 2sin^2x-3sinx+1=0

Для решения тригонометрического уравнения $2\sin^2(x) - 3\sin(x) + 1 = 0$, представим его как квадратное уравнение относительно $\sin(x)$.

1. Обозначим $y = \sin(x)$, чтобы упростить решение. Тогда уравнение примет вид:

   $$2y^2 - 3y + 1 = 0$$

2. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   где $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$. Подставим значения:

   $$D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$$

3. Корни квадратного уравнения находим по формуле:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{3 \pm 1}{4}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$

4. Теперь возвращаемся к исходной переменной $\sin(x)$. Мы получили два возможных значения для $\sin(x)$:

   $$\sin(x) = 1 \quad \text{или} \quad \sin(x) = \frac{1}{2}$$

5. Рассмотрим каждый случай:

   • Если $\sin(x) = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

   • Если $\sin(x) = \frac{1}{2}$, то $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Таким образом, общее решение уравнения: