Log6(x+1)+log6(2x+1)=1

Для решения уравнения $\log_6(x+1) + \log_6(2x+1) = 1$, воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Используем свойство суммы логарифмов:
   Если $\log_a(A) + \log_a(B) = \log_a(A \cdot B)$, то уравнение можно переписать как:

   $$\log_6((x+1)(2x+1)) = 1$$

2. Применяем определение логарифма:
   Логарифм $\log_6(Y) = 1$ означает, что $Y = 6^1$. Таким образом, у нас получается:

   $$(x+1)(2x+1) = 6$$

3. Раскрываем скобки:
   Перемножаем выражения в левой части:

   $$(x+1)(2x+1) = 2x^2 + x + 2x + 1 = 2x^2 + 3x + 1$$

   Тогда уравнение становится:

   $$2x^2 + 3x + 1 = 6$$

4. Переносим все в одну сторону:

   $$2x^2 + 3x + 1 - 6 = 0$$ $$2x^2 + 3x - 5 = 0$$

5. Решаем квадратное уравнение:
   Используем дискриминант для решения уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$. Формула дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Где $a = 2$, $b = 3$, и $c = -5$. Подставляем значения:

   $$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$

   Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня. Находим их по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$$

   Таким образом, два корня:

   $$x_1 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$x_2 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$$

6. Проверка корней:
   Логарифм определен только для положительных чисел. Проверим каждый корень:

   • Для $x_1 = 1$:

     $$\log_6(1+1) = \log_6(2), \quad \log_6(2 \cdot 1 + 1) = \log_6(3)$$

     Оба выражения положительные, значит, $x = 1$ подходит.

   • Для $x_2 = -2.5$:

     $$\log_6(-2.5+1) = \log_6(-1.5), \quad \log_6(2 \cdot (-2.5) + 1) = \log_6(-4)$$

     Логарифмы от отрицательных чисел не существуют, поэтому $x = -2.5$