Решить уравнение x в 3 степени равно 64

Решение:

Имеем уравнение $x^3 = 64$.

Перенесём всё в одну сторону:

Это разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ при $a=x,\ b=4$. Тогда

Дальше два случая.

1. $x-4=0 \Rightarrow x=4$. Это единственный вещественный корень (проверка: $4^3=64$).

2. $x^2+4x+16=0$. Считаем дискриминант:

вещественных корней нет. Комплексные корни:

Итог:

• над $\mathbb{R}$ (в вещественных числах): единственное решение $x=4$;

• над $\mathbb{C}$ (в комплексных числах): три корня $x\in\{\,4,\,-2+2i\sqrt{3},\,-2-2i\sqrt{3}\,\}$.