Вдоль дороги от посёлка В поставлены столбы через каждые 21 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 35 м друг от друга. Найди расстояние от посёлка В до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого.

Для решения задачи нам нужно определить, на каком расстоянии от посёлка В будут установлены новые столбы и как это соотносится с расстоянием старых столбов.

1. Старые столбы: Устанавливались через каждые 21 метр. То есть первый столб стоит в 0 м (в самом посёлке В), второй — в 21 м, третий — в 42 м, и так далее. Расстояние до n-го столба можно выразить формулой:
   $S_{старые} = 21 \times n$, где n — номер столба (0, 1, 2, ...).

2. Новые столбы: Устанавливаются через каждые 35 метров. Первый столб также в 0 м, второй — в 35 м, третий — в 70 м и так далее. Расстояние до m-го нового столба можно выразить формулой:
   $S_{новые} = 35 \times m$, где m — номер нового столба (0, 1, 2, ...).

Теперь нам нужно найти ближайший новый столб к тому месту, где стоял старый.

3. Найдем общее расстояние: Столбы стоят на одних и тех же позициях в разных системах координат. Необходимо определить, при каком n (номер старого столба) существует такое m (номер нового столба), что $21n = 35m$.

4. Решение уравнения: Преобразуем уравнение: $21n = 35m$ $\frac{n}{m} = \frac{35}{21} = \frac{5}{3}$

Это значит, что для каждого 5-го старого столба будет соответствовать 3 новых столба. Таким образом, мы можем найти значение n, при котором n делится на 5, чтобы найти соответствующий m.

5. Поиск столбов: Начнем с n = 0 и будем увеличивать n, пока не найдем ближайшее совпадение:

   • Если n = 0, то $21 \times 0 = 0$
   • Если n = 3, то $21 \times 3 = 63$
   • Если n = 5, то $21 \times 5 = 105$
   • И так далее...

6. Сравнение с новыми столбами: Проверяем расстояния:

   • Для $m = 0$, $S_{новые} = 0$
   • Для $m = 1$, $S_{новые} = 35$
   • Для $m = 2$, $S_{новые} = 70$
   • Для $m = 3$, $S_{новые} = 105$

Находим, что для столба на 105 метрах (5-й старый столб и 3-й новый столб) расстояния совпадают.

7. Расстояние до ближайшего нового столба: Если смотреть на столбы, то ближайший новый столб к местам установки старых будет на 0 м (первый столб), а следующий — на 35 м.

Таким образом, расстояние от посёлка В до ближайшего нового столба, который будет установлен на месте старого, составляет 0 метров (это тот же самый столб). Однако ближайший новый столб, который не совпадает со старым, находится на расстоянии 35 метров.

Ответ: 0 м до ближайшего нового столба (это старый столб) и 35 м до следующего нового столба.