Решить уравнение: x³ - 1 = 0

Чтобы решить уравнение $x^3 - 1 = 0$, начнём с того, что перепишем его в виде:

Теперь нам нужно найти такие значения $x$, которые при возведении в куб дают 1. Это уравнение можно решить разными методами, но сначала заметим, что $1$ можно представить как комплексное число в степени 0, то есть:

Однако для этого уравнения мы можем воспользоваться известной формулой разложения разности кубов. Разложим $x^3 - 1$ по формуле разности кубов:

Таким образом, уравнение $x^3 - 1 = 0$ можно переписать как:

Теперь решим это уравнение на два множителя:

1. $x - 1 = 0$, что даёт решение $x = 1$.

2. $x^2 + x + 1 = 0$. Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Для уравнения $x^2 + x + 1 = 0$ дискриминант равен:

Так как дискриминант отрицателен, у уравнения есть два комплексных корня. Найдём их по формуле для корней квадратного уравнения:

Таким образом, два комплексных корня — это:

Таким образом, все решения уравнения $x^3 - 1 = 0$ следующие: