Решить неравенство (5x-2)(3x+1)≥12x²+7x+1

Для решения неравенства $(5x - 2)(3x + 1) \geq 12x^2 + 7x + 1$, начнем с раскрытия скобок на левой части.

Раскроем скобки:

Теперь подставим это в исходное неравенство:

Переносим все термины на одну сторону, чтобы получить неравенство вида $0 \geq \dots$:

Упростим выражение:

Теперь решим это квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 8x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант:

Корни уравнения:

Первый корень:

Второй корень:

Теперь нам нужно исследовать знак выражения $3x^2 - 8x - 3$ на интервалах, которые определяются корнями $x_1 = 3$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$. Рассмотрим следующие интервалы: $(-\infty, -\frac{1}{3})$, $(- \frac{1}{3}, 3)$ и $(3, +\infty)$.

1. Для интервала $(-\infty, -\frac{1}{3})$, возьмем точку $x = -1$:

2. Для интервала $(- \frac{1}{3}, 3)$, возьмем точку $x = 0$:

3. Для интервала $(3, +\infty)$, возьмем точку $x = 4$: