Замените в числе 35*** звёздочки различными чётными цифрами так, чтобы полученное число делилось на 90. Сколько различных чисел может получиться? Обоснуйте ваше решение.

Число 35*** должно быть таким, чтобы оно делилось на 90. Число делится на 90, если оно делится одновременно на 9 и на 10. Разберёмся по очереди:

1. Делимость на 10. Чтобы число делилось на 10, его последняя цифра должна быть 0. То есть, звёздочка в последней позиции (четвёртая цифра) должна быть 0.

2. Делимость на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. В нашем случае первые три цифры — это 3, 5 и цифры, которые заменят звёздочки. Четвёртая цифра уже установлена как 0. Таким образом, сумма цифр числа выглядит так: $3 + 5 + x_1 + x_2 + x_3$, где $x_1, x_2, x_3$ — это цифры, заменяющие звёздочки.

Теперь найдём, какие чётные цифры можно поставить на место звёздочек, чтобы сумма делилась на 9. Чётные цифры — это 0, 2, 4, 6 и 8.

Рассмотрим сумму цифр:

Сумма всех цифр числа: $3 + 5 + x_1 + x_2 + x_3 = 8 + x_1 + x_2 + x_3$.

Нам нужно, чтобы эта сумма делилась на 9. То есть, $8 + x_1 + x_2 + x_3$ должно быть кратно 9.

Теперь посмотрим, сколько различных чисел можно составить с использованием чётных цифр для $x_1, x_2, x_3$, чтобы сумма делилась на 9.

Возможные варианты:

1. Если $x_1 + x_2 + x_3 = 1$, тогда $8 + 1 = 9$, что делится на 9.

2. Если $x_1 + x_2 + x_3 = 10$, тогда $8 + 10 = 18$, что делится на 9.

3. Если $x_1 + x_2 + x_3 = 19$, тогда $8 + 19 = 27$, что делится на 9.

4. Если $x_1 + x_2 + x_3 = 28$, тогда $8 + 28 = 36$, что делится на 9.

5. Если $x_1 + x_2 + x_3 = 37$, тогда $8 + 37 = 45$, что делится на 9.

После этого перебора, мы получаем 5 возможных чисел.