Замените звездочки цифрами так, чтобы число 81** делилось на 45. укажите все возможные решения

Для того чтобы число $81**$ делилось на 45, оно должно удовлетворять следующим условиям:

1. Число должно делиться на 5.
2. Число должно делиться на 9 (а значит, сумма его цифр должна быть кратна 9).

Условие 1: делимость на 5

Число $81**$ должно оканчиваться на 0 или 5. Это значит, что вторая звёздочка ($*_2$) может быть либо $0$, либо $5$.

Условие 2: делимость на 9

Для того чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна быть кратна 9. У числа $81**$ первые две цифры — $8$ и $1$, сумма которых равна $8 + 1 = 9$. Поэтому сумма остальных двух цифр ($*_1$ и $*_2$) также должна быть кратна 9.

Запишем итоговое требование для суммы цифр:

То есть:

Перебор возможных значений

Случай 1: $*_2 = 0$

Если $*_2 = 0$, то $*_1 + 0 = 9m$, следовательно, $*_1$ должно быть кратно 9. Единственное подходящее значение для $*_1$ в пределах от 0 до 9 — это $9$.

Итак, при $*_2 = 0$, $*_1 = 9$. Число $8190$.

Случай 2: $*_2 = 5$

Если $*_2 = 5$, то $*_1 + 5 = 9m$, следовательно, $*_1 = 9m - 5$. Единственное подходящее значение для $*_1$ в пределах от 0 до 9 — это $4$.

Итак, при $*_2 = 5$, $*_1 = 4$. Число $8145$.

Проверка делимости

1. $8190$:
   • Делится на $5$, так как оканчивается на $0$.
   • Сумма цифр $8 + 1 + 9 + 0 = 18$, кратна $9$. Делится на $45$.
2. $8145$:
   • Делится на $5$, так как оканчивается на $5$.
   • Сумма цифр $8 + 1 + 4 + 5 = 18$, кратна $9$. Делится на $45$.

Ответ:

Число $81**$ может быть равно:

1. $8190$
2. $8145$