Решите неравенство: 3*9^-x -28*3^-x +9 больше или равно 0

Решим неравенство $3 \cdot 9^{-x} - 28 \cdot 3^{-x} + 9 \geq 0$.

1. Приведем выражение к общему виду. Для этого заметим, что $9^{-x}$ можно выразить через степень 3: $9^{-x} = (3^2)^{-x} = 3^{-2x}$. Таким образом, у нас появляется выражение с двумя степенями 3:

2. Введем замену: пусть $y = 3^{-x}$. Тогда $3^{-2x} = y^2$, и неравенство преобразуется в квадратное:

3. Решаем квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения:

Используем дискриминант для нахождения корней:

Теперь находим корни уравнения:

Таким образом, корни уравнения $3y^2 - 28y + 9 = 0$ — это $y = 9$ и $y = \frac{1}{3}$.

4. Решаем неравенство $3y^2 - 28y + 9 \geq 0$. Квадратное неравенство $3y^2 - 28y + 9 \geq 0$ выполняется, если $y$ лежит за пределами интервала, ограниченного корнями уравнения:

5. Возвращаемся к переменной $y = 3^{-x}$. Мы получаем два случая:

   • $3^{-x} \leq \frac{1}{3}$, что эквивалентно $-x \leq -1$, или $x \geq 1$,

   • $3^{-x} \geq 9$, что эквивалентно $-x \leq -2$, или $x \geq 2$.

6. Ответ: Условие выполняется при $x \geq 1$ или $x \leq 2$. Таким образом, решением неравенства является: