Упростите cos2α/cosα-sinα

Для того чтобы упростить выражение $\frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$, нужно использовать несколько тригонометрических тождеств и алгебраические преобразования.

1. Используем тождество для удвоенного угла:
   $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha.$

2. Подставляем это в исходное выражение:

   $$\frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}.$$

3. Теперь попробуем упростить числитель. Мы видим, что числитель — это разность квадратов, которую можно разложить:

   $$\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha).$$

4. Подставим это в выражение:

   $$\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\cos \alpha - \sin \alpha}.$$

5. Теперь можно сократить $(\cos \alpha - \sin \alpha)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\cos \alpha \neq \sin \alpha$):

   $$\cos \alpha + \sin \alpha.$$

Итак, упрощенное выражение будет: