1 + sin2α/(sinα + cosα)²

Давайте разберем выражение:

$1 + \frac{\sin(2\alpha)}{(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2}$.

1. Используем формулу для синуса двойного угла:

   $$\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha).$$

   Подставляем это в исходное выражение:

   $$1 + \frac{2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2}.$$

2. Далее, анализируем знаменатель:

   $$(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) + \cos^2(\alpha).$$

   Используем тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, что дает:

   $$(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 = 1 + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha).$$

3. Теперь подставим это в исходное выражение:

   $$1 + \frac{2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{1 + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}.$$

4. Приведем к общему знаменателю:

   $$\frac{(1 + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha))}{(1 + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha))} + \frac{2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{1 + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)} = \frac{1 + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{1 + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}.$$

   Упростим числитель:

   $$\frac{1 + 4 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{1 + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}.$$

Итак, окончательное упрощенное выражение: