Вычислить: tg15-ctg15

Для того чтобы вычислить выражение $\tan 15^\circ - \cot 15^\circ$, давайте разобьем его на шаги.

1. Определение тангенса и котангенса:

   • $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

   • $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

   В данном случае $\theta = 15^\circ$.

2. Выражение для $\tan 15^\circ$:
   Из формулы для тангенса мы знаем, что $\tan 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}$.

3. Выражение для $\cot 15^\circ$:
   Из формулы для котангенса $\cot 15^\circ = \frac{1}{\tan 15^\circ} = \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$.

4. Решение выражения $\tan 15^\circ - \cot 15^\circ$:
   Мы имеем:

   $$\tan 15^\circ - \cot 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} - \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$$

   Чтобы привести к общему знаменателю, умножим обе дроби на $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$:

   $$\frac{\sin^2 15^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ} - \frac{\cos^2 15^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ}$$

   Получим:

   $$\frac{\sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ}$$

5. Использование тригонометрической тождественности:
   $\sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ = -\cos 30^\circ$ (из тождества для разности квадратов).

   Тогда выражение примет вид:

   $$\frac{-\cos 30^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ}$$

6. Решение:
   Теперь подставим значения для углов:

   • $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

   • $\sin 15^\circ$ и $\cos 15^\circ$ можно выразить через приближенные значения: $\sin 15^\circ \approx 0.2588$, $\cos 15^\circ \approx 0.9659$.

   Таким образом:

   $$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.2588 \times 0.9659} \approx \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.2494} \approx -3.464$$