Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если: cos(a) =-(1/5) π<а<3π/2

Для вычисления значений тригонометрических функций на основании условия $\cos(a) = -\frac{1}{5}$ и учитывая заданный интервал $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$, мы сначала должны понять, в какой четверти находится угол $a$. Указанный интервал соответствует третьей четверти координатной плоскости, где синус и косинус имеют отрицательные значения, а тангенс и котангенс — положительные.

Учитывая, что $\cos(a) = -\frac{1}{5}$, давайте найдем значения других тригонометрических функций:

1. Синус (sin)

Для нахождения синуса мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для тригонометрического круга: $\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1$. Таким образом, подставляя значение косинуса, получаем:

$\sin^2(a) = 1 - \cos^2(a) = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

Так как угол находится в третьей четверти, где синус отрицателен, то:

$\sin(a) = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

2. Тангенс (tan)

Тангенс — это отношение синуса к косинусу: $\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$. Подставляя найденные значения, получаем:

$\tan(a) = \frac{-\frac{2\sqrt{6}}{5}}{-\frac{1}{5}} = 2\sqrt{6}$

3. Котангенс (cot)

Котангенс — это обратное значение тангенса: $\cot(a) = \frac{1}{\tan(a)}$. Используя значение тангенса:

$\cot(a) = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

4. Секанс (sec)

Секанс — это обратное значение косинуса: $\sec(a) = \frac{1}{\cos(a)}$:

$\sec(a) = -5$

5. Косеканс (csc)

Косеканс — это обратное значение синуса: $\csc(a) = \frac{1}{\sin(a)}$:

$\csc(a) = -\frac{5}{2\sqrt{6}} = -\frac{5\sqrt{6}}{12}$

Таким образом, мы получили значения всех тригонометрических функций для угла $a$, зная, что $\cos(a) = -\frac{1}{5}$ и угол находится в третьей четверти (т.е. $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$).