Периметр прямоугольника 34, а его диагональ 13. Найдите стороны прямоугольника, задачу решить системой.

Задача на нахождение сторон прямоугольника с помощью системы уравнений.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$, где $a$ — длина одной стороны, а $b$ — длина другой стороны. У нас есть две информации:

1. Периметр прямоугольника равен 34.
   Периметр прямоугольника вычисляется по формуле:

   $$P = 2a + 2b$$

   Подставим известное значение периметра:

   $$2a + 2b = 34$$

   Упростим:

   $$a + b = 17$$

   Это первое уравнение.

2. Диагональ прямоугольника равна 13.
   Для нахождения диагонали прямоугольника используем теорему Пифагора:

   $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

   Подставим значение диагонали:

   $$\sqrt{a^2 + b^2} = 13$$

   Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

   $$a^2 + b^2 = 169$$

   Это второе уравнение.

Теперь решим систему уравнений:

1. $a + b = 17$

2. $a^2 + b^2 = 169$

Решение:

1. Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:

   $$b = 17 - a$$

2. Подставим это выражение для $b$ во второе уравнение:

   $$a^2 + (17 - a)^2 = 169$$

3. Раскроем скобки:

   $$a^2 + (17^2 - 2 \cdot 17 \cdot a + a^2) = 169$$ $$a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169$$

   Упростим:

   $$2a^2 - 34a + 289 = 169$$

   Вычтем 169 с обеих сторон:

   $$2a^2 - 34a + 120 = 0$$

4. Разделим уравнение на 2:

   $$a^2 - 17a + 60 = 0$$

5. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49$$

6. Найдем корни уравнения:

   $$a = \frac{-(-17) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{17 \pm 7}{2}$$

   Таким образом, $a$ может быть:

   $$a = \frac{17 + 7}{2} = 12 \quad \text{или} \quad a = \frac{17 - 7}{2} = 5$$

7. Теперь, зная $a$, найдем $b$:

   • Если $a = 12$, то $b = 17 - 12 = 5$.

   • Если $a = 5$, то $b = 17 - 5 = 12$.

Таким образом, стороны прямоугольника — это 12 и 5.