В первенстве по футболу участвуют 5 команд. Сколько состоится матчей, если: а) каждая команда должна сыграть с каждой один раз; б) каждая команда должна сыграть с каждой два раза - на своем поле и на чужом?

В первенстве участвуют 5 команд. Рассмотрим два варианта:

а) Каждая команда должна сыграть с каждой один раз.

Каждый матч происходит между двумя командами, и если каждая команда должна сыграть с каждой один раз, то задача сводится к вычислению количества пар команд.

Для 5 команд количество таких пар (игр) можно вычислить по формуле для сочетаний без повторений:

где $n$ — количество команд. Подставим $n = 5$:

Значит, в турнире будет 10 матчей.

б) Каждая команда должна сыграть с каждой два раза — на своем поле и на чужом.

В этом случае, каждая пара команд сыграет два матча: один на домашнем поле одной команды и один на домашнем поле другой. Таким образом, количество матчей удваивается. То есть, для каждой из 10 пар команд будет сыграно два матча:

Значит, в этом случае турнире будет 20 матчей.