Исследовать функцию и построить график f(x)=x^4-4x^2 (^ степень)

Ответы на вопрос

Отвечает Просвиров Виталик.

Функция, которую нужно исследовать, выглядит следующим образом:

f(x) = x^4 - 4x^2

Для того чтобы понять поведение функции, мы проведем несколько шагов:

1. Найдем первую производную функции

Для начала найдем первую производную функции, чтобы изучить ее поведение (где функция возрастает или убывает, а также находим критические точки).

f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^2)

Применяя стандартные правила дифференцирования:

f'(x) = 4x^3 - 8x

Преобразуем производную:

f'(x) = 4x(x^2 - 2)

2. Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

4x(x^2 - 2) = 0

Это уравнение имеет три корня:

x = 0, \quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2}

3. Исследуем вторую производную функции

Теперь найдем вторую производную функции, чтобы определить, являются ли найденные критические точки точками максимума или минимума.

f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 8x)

f''(x) = 12x^2 - 8

4. Определим характер критических точек

Для каждой критической точки подставим значение в вторую производную.

Для $x = 0$ :
$f''(0) = 12(0)^2 - 8 = -8$
Это значение отрицательное, значит, $x = 0$ — точка локального максимума.
Для $x = \pm\sqrt{2}$ :
$f''(\sqrt{2}) = 12(\sqrt{2})^2 - 8 = 12 \cdot 2 - 8 = 16$
Это значение положительное, значит, $x = \pm\sqrt{2}$ — точки локального минимума.

5. Поведение функции на интервалах

Теперь исследуем поведение функции на различных интервалах, разделённых критическими точками.

На интервале $(- \infty, -\sqrt{2})$ функция убывает, так как производная отрицательна.
На интервале $(- \sqrt{2}, 0)$ функция возрастает, так как производная положительна.
На интервале $(0, \sqrt{2})$ функция убывает, так как производная снова отрицательна.
На интервале $(\sqrt{2}, \infty)$ функция возрастает, так как производная положительна.

6. Поведение на границах

Поскольку степень функции $x^4$ четная, а степень $x^2$ тоже четная, можно ожидать, что при больших значениях $x$ (как положительных, так и отрицательных) функция будет стремиться к бесконечности.

\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty

7. Построение графика функции

На основании вышеизложенного, мы можем нарисовать график функции, который будет выглядеть следующим образом:

Функция имеет локальный максимум в точке $x = 0$ с значением $f(0) = 0$ .
Локальные минимумы находятся в точках $x = \pm\sqrt{2}$ , в которых функция достигает значения $f(\pm\sqrt{2}) = -4$ .
На больших и малых $x$ функция стремится к бесконечности.

Теперь, когда мы исследовали все ключевые особенности, можно построить график данной функции, который будет иметь форму подобную "W" с локальными минимумами в $x = \pm \sqrt{2}$ и максимумом в $x = 0$ .