Исследовать функцию и построить её график у=х³-3х+2

Функция $y = x^3 - 3x + 2$ представляет собой кубическую функцию. Давайте проведем её анализ.

1. Определение области определения

Для кубической функции область определения включает все значения $x$, так как полиномы имеют определение на всей числовой оси. То есть:
$D(f) = (-\infty, \infty)$

2. Нахождение производных

Для анализа поведения функции нам нужно найти её первую и вторую производные.

• Первая производная:

• Вторая производная:

3. Нахождение критических точек

Критические точки — это такие значения $x$, при которых первая производная равна нулю, то есть:

Решим уравнение:

Таким образом, критические точки — это $x = 1$ и $x = -1$.

4. Анализ знака второй производной

Для понимания, являются ли эти критические точки точками минимума или максимума, рассчитаем значения второй производной в этих точках.

• Для $x = 1$:

• Для $x = -1$:

5. Нахождение значения функции в критических точках

Теперь найдем значение функции $y$ в этих критических точках:

• Для $x = 1$:

• Для $x = -1$:

Таким образом, точка $(1, 0)$ — это точка минимума, а точка $(-1, 4)$ — точка максимума.

6. Исследование на промежутках

Чтобы понять, как ведет себя функция на промежутках между критическими точками, рассмотрим знак первой производной на интервалах:

• Для $x < -1$ (например, для $x = -2$):

• Для $-1 < x < 1$ (например, для $x = 0$):

• Для $x > 1$ (например, для $x = 2$):

7. График функции

С учетом всех этих результатов, можно сделать вывод, что график функции имеет вид кубической кривой. Он имеет точку максимума в $x = -1$ (значение функции $y = 4$) и точку минимума в $x = 1$ (значение функции $y = 0$).

Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(1, \infty)$, и убывает на промежутке $(-1, 1)$.

График будет проходить через точку $(0, 2)$, так как $f(0) = 2$. Также на больших и малых значениях $x$ функция будет стремиться к бесконечности в положительную сторону, так как старший коэффициент $x^3$