Исследовать функцию,график.y=(4x^2+1) / x

Давайте исследуем функцию $y = \frac{4x^2 + 1}{x}$.

1. Область определения функции:

   Для данной функции область определения — это все значения $x$, для которых выражение в знаменателе не равно нулю. Так как знаменатель равен $x$, то функция не определена в точке $x = 0$. То есть область определения функции:

   $$D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$$

2. Преобразование функции:

   Преобразуем функцию:

   $$y = \frac{4x^2 + 1}{x} = \frac{4x^2}{x} + \frac{1}{x} = 4x + \frac{1}{x}$$

   Таким образом, функция представляется как сумма двух слагаемых: линейного $4x$ и рациональной функции $\frac{1}{x}$.

3. Нахождение асимптот:

   Рассмотрим поведение функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

   • При $x \to \infty$, $4x$ будет стремиться к бесконечности, а $\frac{1}{x}$ стремится к нулю. Следовательно, функция растет и стремится к $+\infty$.

   • При $x \to -\infty$, $4x$ будет стремиться к минус бесконечности, а $\frac{1}{x}$ стремится к нулю. Функция будет стремиться к $-\infty$.

   Таким образом, функция не имеет горизонтальных асимптот, но при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$ значение функции уходит к бесконечности (в положительную или отрицательную сторону).

   Также, при $x = 0$ функция не определена, что указывает на вертикальную асимптоту в этой точке.

4. Нули функции:

   Чтобы найти нули функции, приравняем $y = 0$:

   $$4x + \frac{1}{x} = 0$$

   Умножим обе части на $x$ (при этом $x \neq 0$):

   $$4x^2 + 1 = 0$$

   Это квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как $4x^2 + 1 > 0$ для всех значений $x$. Следовательно, у функции нет действительных нулей.

5. Производная функции:

   Для нахождения производной функции используем правило дифференцирования:

   $$y = 4x + \frac{1}{x}$$

   Производная функции:

   $$y' = 4 - \frac{1}{x^2}$$

   Это выражение показывает, как изменяется функция в зависимости от значения $x$.

   • При $x > 0$ производная положительна, что указывает на рост функции.

   • При $x < 0$ производная отрицательна, что указывает на убывание функции.

6. График функции:

   График функции будет представлять собой две ветви:

   • Для $x > 0$ функция будет возрастать, стремясь к положительной бесконечности при $x \to \infty$.

   • Для $x < 0$ функция будет убывать, стремясь к отрицательной бесконечности при $x \to -\infty$.

   График будет разорван в точке $x = 0$, где у нас вертикальная асимптота.

Подытожим: функция $y = \frac{4x^2 + 1}{x}$ не имеет нулей, имеет вертикальную асимптоту в $x = 0$, и ее график состоит из двух ветвей, которые стремятся к бесконечности при удалении от нуля в обе стороны.