Исследовать функцию с помощью производной и построить её график: y = x³ - 3x² + 1

Для исследования функции $y = x^3 - 3x^2 + 1$ с помощью производной, сначала найдём её первую производную. Это позволит нам изучить поведение функции: где она возрастает или убывает, а также определить точки экстремума.

1. Нахождение первой производной:

Функция имеет вид:

Для нахождения производной, применяем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^3$ равна $3x^2$.

• Производная от $-3x^2$ равна $-6x$.

• Производная от константы $1$ равна 0.

Таким образом, первая производная будет:

2. Нахождение критических точек:

Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

Выносим общий множитель:

Это уравнение имеет два корня: $x = 0$ и $x = 2$.

3. Анализ второй производной для классификации экстремумов:

Теперь найдём вторую производную функции:

Проверим, что происходит в точках $x = 0$ и $x = 2$:

• В точке $x = 0$: $y''(0) = 6(0) - 6 = -6$, что меньше нуля. Это указывает на максимум в точке $x = 0$.

• В точке $x = 2$: $y''(2) = 6(2) - 6 = 6$, что больше нуля. Это указывает на минимум в точке $x = 2$.

4. Поведение функции:

• Функция имеет максимум в точке $x = 0$.

• Функция имеет минимум в точке $x = 2$.

5. Пределы функции при больших и малых значениях $x$:

• При $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$, доминирующий член в функции — $x^3$, следовательно, $y \to +\infty$ при $x \to +\infty$ и $y \to -\infty$ при $x \to -\infty$.

6. Построение графика функции:

График функции $y = x^3 - 3x^2 + 1$ будет выглядеть как кубическая парабола, имеющая максимум в точке $x = 0$ и минимум в точке $x = 2$.