Исследовать на экстремум следующую функцию: y = x³ - 3x

Для того чтобы исследовать функцию $y = x^3 - 3x$ на экстремумы, нужно пройти несколько шагов.

1. Найдем производную функции

Для начала найдём первую производную функции, так как экстремумы функции находятся в точках, где её производная равна нулю (или не существует).

Функция:
$y = x^3 - 3x$

Первая производная: $y' = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x) = 3x^2 - 3$

2. Найдем критические точки

Для поиска критических точек приравняем первую производную к нулю:

$3x^2 - 3 = 0$

Решим это уравнение:

$3x^2 = 3$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$

Таким образом, критические точки — это $x = 1$ и $x = -1$.

3. Проверим тип критических точек с помощью второй производной

Чтобы определить, являются ли эти точки точками максимума, минимума или седловыми точками, воспользуемся второй производной.

Вторая производная: $y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x$

Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную.

Для $x = 1$: $y''(1) = 6(1) = 6$

Так как вторая производная положительная ($y''(1) > 0$), это означает, что точка $x = 1$ — это точка минимума.

Для $x = -1$: $y''(-1) = 6(-1) = -6$

Так как вторая производная отрицательная ($y''(-1) < 0$), это означает, что точка $x = -1$ — это точка максимума.

4. Подведем итог

• В точке $x = 1$ функция имеет минимум.

• В точке $x = -1$ функция имеет максимум.

Таким образом, экстремумы функции $y = x^3 - 3x$ находятся в точках $x = 1$ (минимум) и $x = -1$ (максимум).