Построить график и исследовать его y = x² - 3x + 2.

Для того чтобы построить график функции $y = x^2 - 3x + 2$ и исследовать его, давайте пошагово разберемся, как это можно сделать.

1. Рассмотрим функцию:

   Мы имеем квадратичную функцию $y = x^2 - 3x + 2$, которая является параболой. Ее коэффициенты следующие:

   • $a = 1$ — это коэффициент при $x^2$, который определяет, как "широка" или "узка" будет парабола.

   • $b = -3$ — коэффициент при $x$.

   • $c = 2$ — свободный член.

2. Анализ функции:

   Парабола с положительным коэффициентом при $x^2$ (в нашем случае $a = 1$) открывается вверх. Это означает, что она имеет минимум, а не максимум. Мы можем исследовать несколько важных аспектов графика:

   • Вершина параболы — точка, где функция достигает минимального значения. Для нахождения координат вершины используем формулу:

     $$x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a}$$

     Подставляем значения $a = 1$ и $b = -3$:

     $$x_{\text{в}} = -\frac{-3}{2 \times 1} = \frac{3}{2} = 1.5$$

     Теперь можем найти значение функции в точке вершины:

     $$y_{\text{в}} = 1.5^2 - 3 \times 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$$

     Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1.5, -0.25)$.

   • Корни функции — точки пересечения графика с осью $x$ (где $y = 0$). Для нахождения корней решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. Это уравнение можно решить через дискриминант:

     $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1$$

     Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

     $$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$

     Таким образом, корни уравнения $x = 1$ и $x = 2$, что означает, что график пересекает ось $x$ в точках $(1, 0)$ и $(2, 0)$.

3. График функции:

   Теперь, зная важные особенности функции (вершина, корни, поведение при больших значениях $x$), можно построить график. График будет выглядеть как парабола, которая пересекает ось $x$ в точках $x = 1$ и $x = 2$, и имеет минимум в точке $(1.5, -0.25)$.

4. Поведение функции на бесконечности:

   Так как коэффициент при $x^2$ положительный, при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$ значение функции будет стремиться к $+\infty$.

Это основные моменты, которые нужно учитывать при анализе функции $y = x^2 - 3x + 2$. С таким анализом мы можем ожидать, что график будет представлять собой симметричную параболу, открывающуюся вверх, с минимумом в точке вершины и пересечением с осью $x$ в двух точках.