Найти общее решение уравнения \( y' = 5y \).

Для того чтобы найти общее решение дифференциального уравнения $y' = 5y$, используем метод разделения переменных.

1. Перепишем уравнение в виде:

   $$\frac{dy}{dx} = 5y$$

2. Разделим переменные, переместив все слагаемые с $y$ на одну сторону, а слагаемые с $x$ — на другую:

   $$\frac{dy}{y} = 5dx$$

3. Теперь интегрируем обе стороны:

   $$\int \frac{1}{y} \, dy = \int 5 \, dx$$

4. После интегрирования получаем:

   $$\ln |y| = 5x + C$$

   где $C$ — константа интегрирования.

5. Из этого уравнения можно выразить $y$. Возьмем экспоненту от обеих сторон:

   $$|y| = e^{5x + C} = e^{5x} \cdot e^C$$

6. Обозначим $e^C$ как новую константу $C_1$ (так как $e^C$ — это просто постоянная величина), и получаем:

   $$|y| = C_1 e^{5x}$$

7. Убираем модуль, так как константа $C_1$ может быть как положительной, так и отрицательной:

   $$y = C_1 e^{5x}$$

Итак, общее решение уравнения $y' = 5y$ имеет вид:

где $C_1$ — произвольная константа.