2 cos в квадрате x + 5 sin x - 4=0

Для решения уравнения $2 \cos^2 x + 5 \sin x - 4 = 0$, давайте сначала воспользуемся тригонометрическими тождествами и заменами, чтобы упростить уравнение.

1. Мы знаем, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ (по формуле Пифагора). Подставим это в исходное уравнение:

2. Раскроем скобки:

3. Упростим выражение:

Теперь это квадратное уравнение относительно $\sin x$:

4. Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

5. Решим это квадратное уравнение методом дискриминанта. Для этого обозначим $y = \sin x$, и у нас получится уравнение:

Для нахождения корней используем формулу дискриминанта:

Корни уравнения по формуле:

Таким образом, получаем два корня:

6. Теперь вернемся к исходной переменной $\sin x$. Рассмотрим каждый корень:

• $\sin x = 2$ не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.

• $\sin x = \frac{1}{2}$ имеет решения, так как синус равен $\frac{1}{2}$ при углах $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Таким образом, решения уравнения: