Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше второго, поэтому он прибыл в город В на 2 часа раньше. Определите скорости велосипедистов.

Для решения задачи обозначим скорость первого велосипедиста как $x$ км/ч, а скорость второго велосипедиста как $y$ км/ч. Из условия задачи мы знаем, что:

• расстояние между городами А и В составляет 120 км,

• первый велосипедист едет быстрее второго на 3 км/ч, то есть $x = y + 3$,

• первый велосипедист прибывает на 2 часа раньше второго.

Время, которое каждый велосипедист тратит на путь, можно выразить через формулу:
$t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$

Время, которое затрачивает первый велосипедист:
$t_1 = \frac{120}{x}$

Время, которое затрачивает второй велосипедист:
$t_2 = \frac{120}{y}$

Из условия, что первый велосипедист прибыл на 2 часа раньше второго, получаем уравнение:
$t_2 - t_1 = 2$

Подставим выражения для времени:

Теперь подставим в это уравнение выражение для $x$ через $y$, то есть $x = y + 3$:

Умножим обе части уравнения на $y(y + 3)$, чтобы избавиться от знаменателей:

Упростим это уравнение:

Разделим все на 2:

Приведем уравнение к стандартному виду:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант $D$ рассчитывается по формуле:

В нашем случае $a = 1$, $b = 3$, $c = -180$:

Теперь находим корни уравнения:

Таким образом, два возможных значения для $y$:

или

Так как скорость не может быть отрицательной, то $y = 12$ км/ч.

Теперь находим скорость первого велосипедиста $x$:

Ответ: скорость первого велосипедиста 15 км/ч, скорость второго велосипедиста 12 км/ч.