Решить уравнение lg²x - lgx - 2 = 0

Для решения уравнения $\lg^2 x - \lg x - 2 = 0$ представим его как квадратное уравнение относительно $\lg x$.

1. Обозначим $y = \lg x$, тогда уравнение примет вид:

   $$y^2 - y - 2 = 0$$

2. Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   где $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$. Подставляем значения в формулу:

   $$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}$$ $$y = \frac{1 \pm 3}{2}$$

3. Таким образом, получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

4. Теперь возвращаемся к переменной $x$. Напоминаем, что $y = \lg x$, то есть:

   • Если $y_1 = 2$, то $\lg x = 2$, откуда $x = 10^2 = 100$.

   • Если $y_2 = -1$, то $\lg x = -1$, откуда $x = 10^{-1} = 0.1$.

5. Ответ: $x = 100$ или $x = 0.1$.

Таким образом, уравнение имеет два решения: $x = 100$ и $x = 0.1$.