Когда завершилось строительство офисного помещения, у рабочих осталось некоторое число квадратных плиток. Было решено выложить прямоугольную площадку рядом со зданием. Рабочие посчитали, что если укладывать по 10 плиток в ряд, то на последний ряд плиток не хватит. Если укладывать по 11 плиток в ряду, то полных рядов получится столько же, но в последнем ряду плиток будет на 8 плиток меньше, чем в последнем ряду, когда укладываешь по 10. Сколько штук плиток было изначально, если известно, что этого количества не хватило бы на квадратную площадку со стороной 12 плиток?

Задача сводится к системе уравнений, которую мы решим шаг за шагом.

1. Пусть $x$ — это общее количество плиток.

2. Согласно условиям задачи, если укладывать плитки по 10 в ряд, то на последний ряд плиток не хватит. Это означает, что общее количество плиток $x$ не делится нацело на 10, то есть остаток при делении на 10 $x \mod 10$ не равен нулю.

3. Когда плитки укладывают по 11 в ряд, то полных рядов получится столько же, сколько при укладке по 10 плиток в ряд. Это означает, что $\left\lfloor \frac{x}{10} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{x}{11} \right\rfloor$, где $\left\lfloor y \right\rfloor$ — это целая часть от деления $y$.

4. Однако в последнем ряду при укладке по 11 плиток на 8 плиток меньше, чем при укладке по 10 плиток. То есть, если остаток при делении на 10 равен $r_1$ (то есть $r_1 = x \mod 10$), то остаток при делении на 11 будет $r_2 = r_1 - 8$. Таким образом, $x \mod 11 = (x \mod 10) - 8$.

5. Также известно, что этого количества плиток недостаточно для того, чтобы выложить квадратную площадку со стороной 12 плиток. То есть, количество плиток меньше, чем $12 \times 12 = 144$.

Таким образом, мы имеем систему условий:

1. $x \mod 10 = r_1$

2. $x \mod 11 = r_1 - 8$

3. $x < 144$

Решим систему этих уравнений.

Мы будем подставлять возможные остатки от деления на 10, начиная с $r_1 = 8$, поскольку нам нужно, чтобы разница $r_1 - 8$ не была отрицательной.

Начнем с подбора значений для $r_1$, чтобы найти подходящее количество плиток.

После решения получаем, что количество плиток $x = 138$.

Это и будет искомое количество плиток, которые остались у рабочих.