Мальчик хочет на стене дома выложить мозаику прямоугольной формы из разноцветных квадратных плиток. Если укладывать в ряд по 9 плиток, то для квадратной мозаики плиток не хватает. При укладывании по 7 тоже остаётся неполный ряд, в котором на 5 плиток больше, чем в неполном ряду при укладывании по 8 плиток. Сколько всего плиток у мальчика?

Давайте решим задачу последовательно.

Пусть $N$ — общее количество плиток у мальчика.

1. Анализ условия

1. Первое условие: При укладывании по 9 плиток в ряд не получается полных рядов, то есть остаток не равен нулю.

2. Второе условие: При укладывании по 7 плиток в ряду тоже остаётся неполный ряд. В этом случае остаток больше на 5 плиток, чем при укладывании по 8 плиток.

2. Перевод условий на язык математических выражений

Мы имеем три условия для остатков от деления:

• $N \mod 9 \neq 0$ (остаются плитки после деления на 9);
• $N \mod 7 = R$ (остаток от деления на 7 — это $R$);
• $N \mod 8 = R - 5$ (остаток от деления на 8 на 5 плиток меньше, чем при делении на 7).

Здесь $R$ — остаток от деления $N$ на 7. Поскольку $R$ — остаток, то его значение должно быть в пределах от 0 до 6.

3. Решение уравнений

Из второго и третьего условий следует, что:

Так как $R - 5$ также является остатком, то значение $R - 5$ должно быть от 0 до 7, что сужает диапазон возможных значений для $R$.

Пробуем возможные значения $R$ и проверяем выполнение всех условий:

1. Если $R = 6$:
   • Тогда при делении на 8 остаток должен быть $R - 5 = 1$.
   • Проверяем условия:
     • $N \mod 7 = 6$
     • $N \mod 8 = 1$
     • $N \mod 9 \neq 0$

Теперь подберём число $N$, которое удовлетворяет данным условиям.