Мальчик хочет на стене дома выложить мозаику прямоугольной формы из разноцветных квадратных плиток. Если укладывать в ряд по 12 плиток, то квадратной мозаики плиток не хватает. При укладывании по 9 плиток в ряд остается один неполный ряд, а при укладывании по 10 тоже остается неполный ряд, в котором на 8 плиток больше, чем в неполном ряду при укладывании по 9 плиток. Сколько всего плиток у мальчика, если их больше 50?

Для того чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество плиток за $x$.

Условия задачи:

1. При укладывании по 12 плиток в ряд квадратной мозаики не хватает. Это значит, что $x$ не является квадратом числа и количество плиток $x$ не делится на 12 нацело.
2. При укладывании по 9 плиток в ряд остается один неполный ряд. Это значит, что при делении $x$ на 9 остаток не равен нулю, то есть $x \mod 9 \neq 0$.
3. При укладывании по 10 плиток в ряд тоже остается неполный ряд, и в нем на 8 плиток больше, чем в неполном ряду при укладывании по 9 плиток. Это означает, что при делении на 10 остаток больше, чем при делении на 9, но разница между остатками составляет 8 плиток, то есть: $$(x \mod 10) - (x \mod 9) = 8.$$
4. Плиток больше 50. Это накладывает дополнительное ограничение на значение $x$.

Анализ

1. Рассмотрим остатки при делении на 9 и 10. Пусть остаток при делении $x$ на 9 равен $r_9$, а при делении на 10 — $r_{10}$. Тогда:

   $$r_{10} - r_9 = 8.$$

   Следовательно, $r_{10} = r_9 + 8$. Остатки $r_9$ и $r_{10}$ могут быть в пределах от 0 до 8, и $r_{10}$ не может быть больше 9, поэтому $r_9$ должно быть равно 1, поскольку только в этом случае $r_{10} = 9$ и условие выполняется.

2. Теперь мы знаем, что:

   • $x \mod 9 = 1$,
   • $x \mod 10 = 9$.

3. Найдем подходящее значение $x$. Число $x$ должно удовлетворять системе:

   $$x \equiv 1 \pmod{9}$$

   и

   $$x \equiv 9 \pmod{10}.$$

   Это система линейных сравнений. Решим её методом подбора. Поскольку $x \equiv 9 \pmod{10}$, можно записать $x = 10k + 9$ для некоторого целого $k$. Подставим это выражение в первое сравнение:

   $$10k + 9 \equiv 1 \pmod{9}.$$

   Заметим, что $10 \equiv 1 \pmod{9}$, поэтому:

   $$k + 9 \equiv 1 \pmod{9}.$$

   Это означает, что $k \equiv -8 \equiv 1 \pmod{9}$, то есть $k = 9m + 1$ для некоторого целого $m$. Подставим это значение $k$ в выражение для $x$:

   $$x = 10k + 9 = 10(9m + 1) + 9 = 90m + 19.$$

   Таким образом, $x = 90m + 19$.

4. Плиток больше 50. Чтобы $x$ было больше 50, подставим $m = 1$:

   $$x = 90(1) + 19 = 109.$$

   Это значение подходит, так как оно больше 50.

5. Проверим все условия для $x = 109$:

   • $109 \mod 9 = 1$, что выполняется.
   • $109 \mod 10 = 9$, что также выполняется.
   • $x = 109$ больше 50, что тоже выполнено.

Таким образом, количество плиток у мальчика равно 109.