ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ЗАДАЧУ, СРОЧНО.
После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток НЕ ХВАТАЕТ. При укладывании по 8 плиток в ряд остаётся один неполный ряд, а при укладывании по 9 - тоже остаётся неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?
ЗАРАНЕЕ СПАСИБО

Давайте подробно разберем задачу и найдем решение.

Дано:

1. Если укладывать плитки в ряд по 10 штук, то их не хватает для квадратной площадки. Это значит, что общее число плиток не является квадратом числа при делении на 10.
2. Если укладывать плитки в ряд по 8 штук, то остается неполный ряд.
3. Если укладывать плитки в ряд по 9 штук, то тоже остается неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8.

Нужно найти общее количество плиток $N$, которое удовлетворяет всем этим условиям.

Решение:

1. Первое условие:

   • $N \mod 10 \neq k^2$, где $k$ — целое число. Это неравенство исключает случаи, когда $N$ делится на 10 так, что результат деления — квадрат числа.

2. Второе условие:

   • При делении на 8, остается остаток $r_8$. Значит: $$N = 8q + r_8,$$ где $r_8$ — остаток при делении $N$ на 8, и $0 < r_8 < 8$ (потому что это остаток от деления).

3. Третье условие:

   • При делении на 9 тоже остается остаток $r_9$. Причем, известно, что: $$r_9 = r_8 - 6.$$ Так как $r_8$ — остаток при делении на 8 ($0 < r_8 < 8$), то $r_9$ удовлетворяет $0 \leq r_9 < 9$.

   Из $r_9 = r_8 - 6$ следует, что:

   $$r_8 \geq 6, \quad r_9 \geq 0.$$

   Таким образом, $r_8 = 6$ или $r_8 = 7$ (остальные значения невозможны, так как $r_8 < 8$).

Поиск $N$:

Теперь мы знаем, что:

• $N \equiv r_8 \mod 8$,
• $N \equiv r_9 \mod 9$,
• $r_9 = r_8 - 6$.

Шаг 1: Определим остатки $r_8$ и $r_9$.

Если $r_8 = 6$, то:

Если $r_8 = 7$, то:

Шаг 2: Найдем $N$ как решение системы сравнений:

Система сравнений для $r_8 = 6$:

Решение для $N$ ищется через метод перебора или через метод приведения сравнений. Уравнение $N \equiv 6 \mod 8$ можно записать как:

где $k$ — целое число.

Подставим в $N \equiv 0 \mod 9$:

Приведем по модулю 9:

Так как $-6 \equiv 3 \mod 9$, то:

Обратное число для 8 по модулю 9 — это 8 (проверяется через $8 \cdot 8 \mod 9 = 1$). Умножим обе стороны сравнения на 8:

Таким образом, $k=9m+6$