Сумма цифр трёхзначного числа равна 11. Если же цифры записать в обратном порядке, то получится число, которое на 297 больше исходного. Найдите это число, если цифра его единиц в 3 раза больше цифры его десятков.

Давайте обозначим трёхзначное число как $\overline{abc}$, где $a$, $b$, и $c$ — это цифры числа. То есть наше число можно записать в виде:

По условию задачи, сумма цифр числа равна 11:

Если цифры числа записать в обратном порядке, то полученное число будет $\overline{cba}$, которое выражается как:

Также по условию задачи, это новое число $M$ на 297 больше исходного числа $N$:

Подставляем выражения для $N$ и $M$:

Сократим одинаковые слагаемые $10b$ с обеих сторон уравнения:

Переносим всё с $a$ и $c$ в одну сторону:

Приводим подобные:

Делим на 99:

Таким образом, цифра $c$ на 3 больше цифры $a$. Кроме того, по условию задачи, цифра единиц (то есть $c$) в 3 раза больше цифры десятков (то есть $b$):

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $a + b + c = 11$
2. $c = a + 3$
3. $c = 3b$

Подставим $c = a + 3$ и $c = 3b$ в первое уравнение $a + b + c = 11$:

Упростим:

Отсюда:

Теперь из уравнения $c = 3b$ выразим $b$ через $c$:

Но так как $c = a + 3$, то:

Подставляем это значение $b$ в уравнение (3):

Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:

Упрощаем:

Теперь, подставив $a = 3$ в выражение для $c$, получим:

А теперь найдём $b$, используя $c = 3b$:

Таким образом, наше число — это $\overline{abc} = 326$.

Проверим: сумма цифр $3 + 2 + 6 = 11$, что соответствует условию. Если перевернуть цифры, получится число 623, которое на 297 больше исходного: $623 - 326 = 297$. Условия выполнены, и ответ — 326.