Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились через 2 часа. С какой скоростью шел каждый турист, если для прохождения всего расстояния между пунктами одному из них необходимо на 54 минуты больше, чем другому?

Для решения задачи обозначим скорости туристов как $v_1$ и $v_2$, где $v_1$ — скорость первого туриста, а $v_2$ — скорость второго туриста. Пусть один турист тратит на преодоление всего пути на 54 минуты больше, чем другой. Рассмотрим шаги решения:

1. Время встречи и общее расстояние:
   Из условия задачи известно, что туристы встретились через 2 часа. Это означает, что суммарное расстояние между ними (18 км) они прошли за 2 часа. То есть, за это время они прошли расстояние в 18 км с суммарной скоростью $v_1 + v_2$.

   Следовательно, можно записать уравнение:

   $$(v_1 + v_2) \times 2 = 18.$$

   Разделим обе стороны на 2:

   $$v_1 + v_2 = 9 \text{ км/ч}.$$

2. Время прохождения полного пути:
   Для того чтобы пройти расстояние в 18 км, каждому туристу нужно определенное время. Пусть для первого туриста это время будет $T_1$, а для второго — $T_2$. Из условия задачи, для первого туриста время больше на 54 минуты, чем для второго, то есть:

   $$T_1 = T_2 + \frac{54}{60} = T_2 + 0.9 \text{ часа}.$$

   Время для каждого туриста на полный путь можно выразить через скорость:

   $$T_1 = \frac{18}{v_1}, \quad T_2 = \frac{18}{v_2}.$$

   Подставим выражение для $T_1$ и $T_2$ в предыдущую формулу:

   $$\frac{18}{v_1} = \frac{18}{v_2} + 0.9.$$

3. Решение системы уравнений:
   Мы имеем систему из двух уравнений:

   $$v_1 + v_2 = 9,$$ $$\frac{18}{v_1} = \frac{18}{v_2} + 0.9.$$

   Умножим второе уравнение на $v_1 v_2$, чтобы избавиться от дробей:

   $$18v_2 = 18v_1 + 0.9 v_1 v_2.$$

   Упростим:

   $$v_2 = v_1 + 0.05v_1 v_2.$$

   Из этого мы можем выразить $v_2$ через $v_1$, но будет удобнее воспользоваться методом подбора и подставить значения.