Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа (А + 6) также делится на 12. Найдите наименьшее число А, удовлетворяющее условию А > 700.

Для того чтобы решить задачу, давайте разобьём её на несколько шагов.

Пусть три цифры числа $A$ равны $a_1, a_2, a_3$, то есть число $A = 100a_1 + 10a_2 + a_3$. Тогда сумма цифр числа $A$ будет равна $a_1 + a_2 + a_3$. Согласно условию задачи, сумма цифр числа $A$ делится на 12, то есть:

Теперь рассмотрим число $A + 6$. Оно будет равно $100a_1 + 10a_2 + a_3 + 6$, а сумма цифр числа $A + 6$ будет равна:

Сумма цифр числа 6 равна 6. Следовательно, сумма цифр числа $A + 6$ будет:

По условию задачи, эта сумма также должна делиться на 12, то есть:

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. $a_1 + a_2 + a_3 \equiv 0 \pmod{12}$,

2. $a_1 + a_2 + a_3 + 6 \equiv 0 \pmod{12}$.

Вторая система уравнений упрощается до:

Таким образом, нам нужно найти число, у которого сумма цифр делится на 12 и одновременно остаток от деления суммы цифр на 12 равен 6.

Для нахождения наименьшего числа $A$, которое больше 700 и удовлетворяет этим условиям, нужно учесть, что наименьшее значение для суммы цифр будет при $A = 705$.

Ответ: 705.