Для функции y=x^3-4x найдите первообразную, график которой проходит через точку M (2;24)

Для функции $y = x^3 - 4x$ нужно найти первообразную, график которой проходит через точку $M(2; 24)$.

1. Найдем неопределенный интеграл от функции $y = x^3 - 4x$:

   Первообразная — это интеграл функции. Выпишем функцию и начнем интегрировать:

   $$\int (x^3 - 4x) \, dx.$$

   Интеграл вычисляется по отдельности для каждого слагаемого:

   $$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4},$$ $$\int (-4x) \, dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2.$$

   Таким образом, неопределенная первообразная имеет вид:

   $$F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^2 + C,$$

   где $C$ — константа интегрирования.

2. Используем условие, что график проходит через точку $M(2; 24)$:

   Теперь нам нужно найти значение константы $C$. Для этого подставим координаты точки $M(2; 24)$ в уравнение первообразной. Это означает, что при $x = 2$, значение функции $F(x)$ должно быть равно 24:

   $$F(2) = \frac{2^4}{4} - 2 \cdot 2^2 + C = 24.$$

   Вычислим значения каждого слагаемого:

   $$\frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4,$$ $$2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8.$$

   Подставим эти значения в уравнение:

   $$4 - 8 + C = 24.$$

   Упростим:

   $$-4 + C = 24.$$

   Найдем $C$:

   $$C = 24 + 4 = 28.$$

3. Запишем окончательное уравнение первообразной:

   Таким образом, первообразная функции $y = x^3 - 4x$, график которой проходит через точку $M(2; 24)$, имеет вид:

   $$F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 28.$$

Это и есть искомое уравнение первообразной.