√3/2 cos х - 1/2 sin х = 1 - Новая школа

Ответы на вопрос

Отвечает Кузьмина Наталья.

Рассмотрим уравнение:

\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = 1

Мы можем попробовать преобразовать левую часть уравнения в одно тригонометрическое выражение. Для этого используем формулы для суммы углов.

Запишем левую часть уравнения в виде:

R \cos(x - \alpha)

где $R$ — это амплитуда, а $\alpha$ — фаза. Теперь найдём $R$ и $\alpha$ , используя известное представление линейной комбинации синуса и косинуса.

Для этого приравняем выражение $R \cos(x - \alpha)$ к исходному уравнению:

R \cos(x - \alpha) = R (\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha)

Сравнивая с исходным уравнением:

\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = R \cos x \cos \alpha + R \sin x \sin \alpha

Мы видим, что:

Теперь найдём $R$ . Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

R^2 = \left( R \cos \alpha \right)^2 + \left( R \sin \alpha \right)^2

Подставляем значения:

R^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2

R^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1

Следовательно, $R = 1$ .

Теперь найдём угол $\alpha$ :

\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \alpha = \frac{1}{2}

Из этих значений видно, что $\alpha = \frac{\pi}{6}$ .

Теперь у нас есть уравнение вида:

\cos(x - \frac{\pi}{6}) = 1

Уравнение $\cos(x - \frac{\pi}{6}) = 1$ выполняется, когда:

x - \frac{\pi}{6} = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})

Отсюда:

x = 2k\pi + \frac{\pi}{6}

Решением уравнения является:

x = 2k\pi + \frac{\pi}{6}, \quad k \in \mathbb{Z}

√3/2 cos х - 1/2 sin х = 1