3 синус в квадрате x - 5 синус x -2=0

Уравнение $3 \sin^2(x) - 5 \sin(x) - 2 = 0$ — это квадратное уравнение относительно $\sin(x)$. Чтобы решить его, сделаем замену:

Пусть $y = \sin(x)$. Тогда уравнение примет вид:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

В нашем случае $a = 3$, $b = -5$, $c = -2$. Подставим эти значения в формулу:

Теперь найдем два возможных значения для $y$:

1. $y = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

2. $y = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Так как $y = \sin(x)$, то теперь нам нужно решить два уравнения:

1. $\sin(x) = 2$

2. $\sin(x) = -\frac{1}{3}$

Рассмотрим каждое из них.

1. $\sin(x) = 2$: Синус не может быть больше 1, поэтому этого решения нет.

2. $\sin(x) = -\frac{1}{3}$: Это решение существует. Нам нужно найти значения $x$, для которых синус равен $-\frac{1}{3}$.

Синус равен $-\frac{1}{3}$ в двух точках на окружности:

где $k$ — целое число (для учета всех периодических решений).

Таким образом, основное решение:

Вычислим $\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)$. Это значение приблизительно равно $-0.3398$. Тогда окончательные решения будут:

Эти значения являются решениями исходного уравнения.