при каких значениях параметра p уравнение имеет один корень? x² - px + p = 0

Для квадратного уравнения один (единственный) действительный корень бывает тогда и только тогда, когда дискриминант равен нулю.

Дано: $x^2 - p x + p = 0$.
Дискриминант: $D = (-p)^2 - 4\cdot 1 \cdot p = p^2 - 4p = p(p-4)$.

Требуем $D=0$ ⇒ $p(p-4)=0$ ⇒ $p=0$ или $p=4$.

Проверка:

• При $p=0$: $x^2=0$ ⇒ единственный корень $x=0$.

• При $p=4$: $x^2-4x+4=0$ ⇒ $(x-2)^2=0$ ⇒ единственный корень $x=2$.

Ответ: уравнение имеет ровно один корень при $p=0$ или $p=4$.