1) Исследуйте функцию на монотонность y = 3/(x + 1) - 4 2) При каких значениях p уравнение -x² + 6x - 2 = p: а) не имеет корней б) имеет 1 корень в) имеет 2 корня?

1. $y=\dfrac{3}{x+1}-4$

Область определения: $x\neq -1$.

Производная:

Так как $(x+1)^2>0$ при $x\neq -1$, имеем $y'<0$ на каждом из промежутков области определения.
Следовательно, функция строго убывает на $(-\infty,-1)$ и на $(-1,+\infty)$.
(Дополнительно: вертикальная асимптота $x=-1$, горизонтальная $y=-4$.)

2. $-x^2+6x-2=p$

Перенесём всё в одну сторону и рассмотрим квадратное уравнение относительно $x$:

Дискриминант:

Тогда:

• а) корней нет, если $D<0 \iff 28-4p<0 \iff p>7$;

• б) один корень, если $D=0 \iff p=7$;

• в) два различных действительных корня, если $D>0 \iff p<7$.

Эквивалентно, можно заметить, что парабола $y=-x^2+6x-2$ ветвями вниз имеет максимум $7$ при $x=3$, и прямая $y=p$ даёт 0/1/2 пересечений в зависимости от $p>7,\;=7,\;<7$.