2) Докажите, что функция Fявляется первообразной для функции f на множестве R. а)F(x)=4x-x3, f(x)=4-3x2 б)f(x)=0,5-sin, f(x)=-cos в)f(x)=sin4x, f(x)=4cos4x найдите общий вид первообразных для функции а) F(x)=1дробьx^2-2cos3x б)f(x)=4sin x cos x

Вот как это разбирается.

1) Проверка, что $F$ — первообразная для $f$ на $\mathbb R$

а) $F(x)=4x-x^3$, $f(x)=4-3x^2$.

Верно на всей $\mathbb R$.

б) $F(x)=\tfrac12-\sin x$, $f(x)=-\cos x$.

Верно на всей $\mathbb R$.

в) $F(x)=\sin(4x)$, $f(x)=4\cos(4x)$.

По правилу цепочки:

Верно на всей $\mathbb R$.

2) Найти общий вид первообразных

а) Для $f(x)=\dfrac{1}{x^2}-2\cos(3x)$.

Интегрируем по частям с учётом стандартных формул:

Значит, общий вид первообразных:

б) Для $f(x)=4\sin x\cos x$.

Можно использовать тождество $2\sin x\cos x=\sin(2x)$:

Эквивалентная запись через производную $(\sin x)^2$:

что совпадает с предыдущим (так как $2\sin^2 x=1-\cos 2x$, различие лишь в константе).