1. Для функции f(x)=2(1-x): а) Найдите общий вид первообразных. б) Напишите первообразную, график которой проходит через точку А(2;3). 2. Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=(5x-3)²+3sin(2x-π/6).

1. Для функции $f(x) = 2(1 - x)$:

а) Чтобы найти общий вид первообразных, нужно проинтегрировать функцию. Раскроем скобки:

Теперь интегрируем:

Интегрируем по частям:

Итак, первообразная будет:

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

б) Чтобы найти первообразную, график которой проходит через точку $A(2, 3)$, подставим значения $x = 2$ и $F(2) = 3$ в выражение для первообразной:

Подставляем $x = 2$:

Это даёт уравнение:

Отсюда $C = 3$.

Тогда первообразная, график которой проходит через точку $A(2, 3)$, будет:

2. Для функции $f(x) = (5x - 3)^2 + 3\sin(2x - \frac{\pi}{6})$:

а) Для нахождения первообразной сначала раскроем скобки в первой части функции, а затем отдельно проинтегрируем оба слагаемых.

Рассмотрим первую часть $(5x - 3)^2$:

Теперь проинтегрируем:

Теперь интегрируем вторую часть $3\sin(2x - \frac{\pi}{6})$. Используем известную формулу для интеграла синуса:

В нашем случае $a = 2$, а $b = -\frac{\pi}{6}$:

Теперь, сложив результаты, получаем общий вид первообразной:

где $C$ — произвольная константа интегрирования.