1) Два мотоцикла стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 20 км. Через сколько минут мотоциклы поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого? 2) Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ в км/ч. 3) Маша и Настя моют окно за 12 минут. Настя и Лена за 20 минут, а Маша и Лена за 15 минут. За сколько минут девочки вымоют окно, если будут работать втроём?

1. Для того чтобы мотоциклы поравнялись в первый раз, нужно рассчитать их скорости и время, через которое они встретятся.

Обозначим скорость первого мотоцикла как $v_1$, а второго мотоцикла как $v_2$. Из условия задачи известно, что $v_2 = v_1 + 12$, где скорость второго мотоцикла на 12 км/ч больше.

Поскольку мотоциклы стартуют из двух диаметрально противоположных точек на круговой трассе длиной 20 км, расстояние между ними — это половина окружности, то есть 10 км.

Когда мотоциклы поравняются, они должны пройти вместе 10 км. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Общее расстояние, которое они проходят для того, чтобы встретиться, можно выразить как:

Теперь, зная, что они должны пройти 10 км, можем использовать формулу для времени:

Так как мотоциклы движутся навстречу друг другу, время, через которое они поравняются, можно выразить как $t = \frac{10}{2v_1 + 12}$.

Чтобы найти $t$, нужно выразить скорость $v_1$ через время. Поскольку мотоциклы стартуют одновременно, они двигаются по кругу и встречаются через определённое время, когда их общее расстояние будет равно длине трассы. Находим окончательное решение, подставив данные в формулу.

2. Чтобы найти скорость лодки в неподвижной воде, обозначим её скорость через $v$ км/ч. С учетом того, что скорость течения реки равна 4 км/ч, скорость лодки по течению будет $v + 4$ км/ч, а против течения — $v - 4$ км/ч.

Плот прошел 36 км за 1 час, и это означает, что его скорость по течению составила 36 км/ч. Лодка стартует через 1 час после плота, и она успевает вернуться до того времени, когда плот проходил 36 км.

3. Для того чтобы найти, за сколько минут девочки вымоют окно втроём, нужно рассчитать их совместную работу.

Скорость работы Маши и Насти составляет $\frac{1}{12}$ окна за 1 минуту, Насти и Лены — $\frac{1}{20}$ окна за 1 минуту, а Маши и Лены — $\frac{1}{15}$ окна за 1 минуту.

Составляем систему уравнений:

Решая эту систему, находим скорости каждой девочки, и затем определяем их совместную скорость.

Зная её, можем вычислить, за сколько минут они вымоют окно втроём.